0.181 & 0.177 & 0.171 & 0.163 & 0.156 & 0.152\\ \(10\) 人が順番にくじを引き、全員同時に結果を見るとします。 先に引いた方が有利とか、そのようはことは一切ありません。, \(10\) 本のくじの中に、当たりが \(3\) 本入っている。そこから、\(2\) 本のくじを同時に引いたとき、次の確率を求めなさい。, 例題 \(1\) は、順番に \(2\) 本引くときの確率でした。 $\begin{pmatrix} 0.187 & 0.181 & 0.172 & 0.161 & 0.152 & 0.147\\ 都立高校受験応援ブログ , \(A,B\) が同時にくじの結果をみるのがまさにこの問題、例題2の(1) 都立高校受験に役立つ情報を発信します。高校情報、勉強法など。無料相談も受け付けています。, 今日は数学Aの条件付確率の解き方についてみていきます。条件付き確率は、一見ややこしく感じますが、解き方次第ではとても簡単です。, 当たりが4本入った12本のくじがある。このくじを、A,Bの2人がこの順に1本ずつ引く。ただし、引いたくじは戻さない。, もし最初の方が当たる確率が高いなら、宝くじは最初に買った方が得することになりますよね。, 12人でくじを引いたとき、1番目でも12番目でも、当たる確率は同じで、1/3です。, Aが当たりかどうかわからない場合Bが当たりである確率は12本中当たり4本なので4/12=1/3です。, 2)ここで、Aが当たりと分かっていると、Bが、くじを引く条件は、Aの当たりの分を引いた条件「11(12-1)本中、3(4-1)本が当たりのくじ」に変わります。, 3)誰かの結果が分かっていると条件と確率が変化するのは、くじを引く順番とは関係ありません。, Aが、くじを引く条件は、Bの当たりの分を引いた条件「11(12-1)本中、3(4-1)本が当たりのくじ」に変わります。, 4)Aがはずれの確率は2/3Bがはずれの確率も2/3AもBもはずれの確率は2/3×2/3=4/9!, Aがはずれと分かった段階ではずれのくじが1つ減ります。Bの外れる確率は、2/3 (4/12)から、7/11に変化します。, サイコロを投げて、1,2の目が出たら箱Aから、3,4,5,6の目が出たら箱Bから球を1つ取り出す。, 5)箱Aから赤玉を取り出す確率1/3(サイコロ)×3/5(箱の中の赤玉)   =1/5, 箱Bから赤玉を取り出す確率2/3(サイコロ)×4/5(箱の中の赤玉)   =8/15, 箱Aから赤玉を取り出す確率と箱Bから赤玉を取り出す確率は、独立なのでそれぞれを求めて足します。, 6)赤玉を取り出す確率(全体の確率)は11/15箱Aから赤玉を取り出す確率は1/3, マスクを作る工場A、Bがある。このマスクは工場Aで70%、工場Bで30%作られている。このうち、工場Aでは1%、工場Bでは2%のカビ付きの不良品が出た。次の確率を求めなさい。, 8)配られたマスクがカビ付き不良品であるときそれが、工場Bで作られたものである確率, 工場Aから不良品が出る確率と工場Bから不良品が出る確率は、独立なのでそれぞれを求めて、足します。, %で表現されていることだけ気をつければ問題なく解くことができると思います。0.2%なんて数字が出てくる問題も、あるのでその場合、面倒ですが, 条件付き確率の解き方について、見てきました。それでは、応用問題にチャレンジしてみましょう, 1から20までの数が1つずつ記された20枚のカードがある。このカードから、元に戻さず2枚引くとき次の確率を求めなさい。, 9)2枚目が5の倍数である確率10)2枚目が5の倍数であった時、  1枚目のカードが5の倍数である確率(青山学院大改), 9)20枚のカードのうち、5の倍数は  5,10,15,20の4枚です。  したがって求める確率は, 10)2枚目のカードが5の倍数と分かっていますしたがって、残り19枚の中には5の倍数のカードは、1枚減って、3枚になります。, 問題ある病気Xにかかっている人が4%いる集団Aがある。病気Xを診断する検査で、病気Xにかかっている人を陽性と正しく診断できる確率は80%である。また、この検査で病気Xにかかってない人を誤って陽性と診断してしまう確率は10%である。次の問に答えなさい。, この問題は、赤玉白玉、不良品の問題と同じですが、今回は、集合の要素を用いて解きます。, 集団Aの数を1000人とする。すると、病気Xにかかっている人は1000×0.04=40人かかっていない人は960人である。, 40×0.8=32人:陽性と診断された陽性の人40×0.2=8人:陰性と診断された陽性の人, 960×0.1=96人:陽性と診断された陰性の人960×0.9=864人:陰性と診断された陰性の人, 陽性と診断された人が、実際に病気Xにかかっている確率は、   32/128=1/4, 陰性と診断された人が、実は病気Xにかかっている確率は、   8/864=1/109, 例えば、1%の人がコロナウイルスにかかっているとして、精度90%の検査を1万人にします。, すると、90人の人が、正しくコロナ陽性と診断され、990人の人が、コロナではないのにコロナ陽性と診断されます。また、10人の人が実際にはコロナ陽性なのに陰性と診断されてしまいます。, もしも、精度99%だとしても、1万人のうち99人の人がコロナではないのにコロナ陽性と診断されてしまいます。, コロナウイルスの検査を全員にしないのはなぜだろうか?という疑問もこうして条件付確率を考えると理解できます。, この場合の別解として。独立した事象を、確率ではなく「集合の要素」で考えることもできます。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, そろそろ高校でも中間試験が始まります。高校1年生は初めての高校での試験、出だし良くいい点を取りたいですよね。今日のテーマは数学I、名付けて「因数分解解いておきたいこの1問」試験に出たらサクッと解いて周 …, 6月6日に雨ザーザー降ってきて、三角定規にヒビ入って・・・ の6月6日です。今日は、雨に関係なく、数学Iの一次不等式の文章題について説明したいと思います。「文章題が苦手!」という人多いと思いますが、し …, じめじめした日が続きますね。期末試験もたけなわだと思います。今日は、必要条件・十分条件について勉強しましょう。わかりやすい覚え方や、試験によく出る問題についてもチェックしていきます。 目次1 必要条件 …, さて、自習状態が続いていますね。今日は中学3年の数学、因数分解を取り上げます。公式や因数分解の解き方の簡単な方法を問題を解きながらマスターしていこう! 目次1 因数分解の解き方1:共通因数をくくりだす …, 夏はまだか?という感じですね。今日は、また共通テストについて書いていきます。 共通テストの英語外部利用試験についてはTOEICが撤退するなど、まだまだ明らかにならない点が多いですね。 そんな中、共通テ …. \(B\) がくじを引きます。 0.093 & 0.131 & 0.180 & 0.207 & 0.203 & 0.187\\ Powered by WordPress with Lightning Theme & VK All in One Expansion Unit by Vektor,Inc. \end{pmatrix}$, 〜 $n=50$ の場合〜 \(A\) が当たり、\(B\) がはずれの確率 \(\displaystyle \frac{7}{30}\) と、\(A\) がはずれ、\(B\) が当たりの確率 \(\displaystyle \frac{7}{30}\) との和になっているからです。. $a$ 番からスタートして $b$ 番に到達する確率 $P_{m,n}(a,b)$ がどうなるのか, 行列 $P_m$ の $n$ 乗の各成分が $P_{m,n}(a,b)$ を与える, 端からスタートすると同じ場所に到着する確率が $37$ %以上もあり,反対側の端に到着する確率は $1$ %程度しかありません。, 対角成分が大きい,つまりスタート地点と同じ場所にゴールする確率が高い傾向があります。. 0.161 & 0.163 & 0.165 & 0.168 & 0.171 & 0.172\\ くじ引きの確率・確率の総合問題 くじ引きの問題は、確率の基礎学習が一通り身についているかどうかを探るにはピッタリの問題です。これに、「条件つき確率」の要素を入れた出題が、センター試験で頻出です。 ていねいに確実に身につけましょう。 \(2\) 本のくじを引く、全場合の数は、, \(_{10} \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{10×9}{2×1}=45\)(通り), (1) \(2\) 本ともはずれの確率 全員平等に決まっていますね。 例題 \(2\) では、同時に \(2\) 本引きます。 あみだくじの確率を計算しようと試みてみたら,思ったよりも面白い数学の話になったので紹介します。, $n$ 本の横棒は「ランダムに」引かれています。ここで言うランダムとは,各々の横棒が $m$ 箇所のどこに引かれる確率も $\dfrac{1}{m}$ であるという意味です。実現されうるあみだくじのパターンは $m^n$ 通りあります。, このとき, $a$ 番からスタートして $b$ 番に到達する確率 $P_{m,n}(a,b)$ がどうなるのかという問題を考えます。(左端を $0$ 番,右端を $m$ 番とします), 実際に確率を計算する部分はけっこう大変な数学になるので後回しにして,まずは $m=5$ の場合の計算結果を紹介します。, 〜 $n=10$ の場合〜 $P_{m,1}(a,a+1)=\frac{1}{m}\:(a=0,1,\cdots, m-1)$ 0.013 & 0.036 & 0.093 & 0.187 & 0.297 & 0.374 ($m\geq 2$ のとき)$m$ を固定して $n\to \infty$ とすると確率は $\dfrac{1}{m+1}$ となり,均等に混ざることも分かります。, $P$ の固有値を並べた対角行列を $D$,固有ベクトルを並べた行列を $X$ とすると,$P$ は対称行列なので $P=XDX^{\top}$ となる。つまり, 1回目にくじを引いて当たりを引く確率(1) 2回目にくじを引いて当たりを引く確率(3) technology. $P_{m,1}(a,a-1)=\frac{1}{m}\:(a=1,2,\cdots, m)$ $P_m=\begin{pmatrix}1-\frac{1}{m}&\frac{1}{m}& & & \\\frac{1}{m}&1-\frac{2}{m}&\frac{1}{m}& &\\&\ddots&\ddots&\ddots&\\&&\frac{1}{m}&1-\frac{2}{m}&\frac{1}{m}\\&&&\frac{1}{m}&1-\frac{1}{m}\end{pmatrix}$ Copyright© となる。, また,$P_{m,n}(a,b)=\displaystyle\sum_{c=0}^mP_{m,n-1}(a,c)P_{m,1}(c,b)$ であることに注意すると,行列 $P_m$ の $n$ 乗の各成分が $P_{m,n}(a,b)$ を与えることが分かる。, 注:推移確率行列が $P_m$ であるようなマルコフ連鎖です。→マルコフ連鎖の基本とコルモゴロフ方程式, これで,与えられた $m,n,a,b$ に対して $P_{m,n}(a,b)$ を求めることができます(コンピュータに行列のべき乗を計算させればよい)! 例えばさきほどの実験結果で紹介した表は $P_5^{10}$,$P_5^{50}$ を計算したものです。, 行列 $P_m$ の $n$ 乗を解析的に計算するのは無理そうだと思っていたのですが,僕の知人が気合いで(固有値,固有ベクトルを求めて)計算してくれました。, $P_{m,n}(a,b)\\=\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{2}{m+1}\displaystyle\sum_{k=1}^m\left\{1-\frac{4}{m}\sin^2\left(\frac{k\pi}{2(m+1)}\right)\right\}^nF_k(a)F_k(b)$ 0.036 & 0.070 & 0.131 & 0.203 & 0.264 & 0.297\\ 下の表は縦がスタート地点の場所,横がゴール地点の場所,数値が確率を表しています。例えば二行目の三列目が $0.203$ なので,左から二番目からスタートすると左から三番目にゴールする確率が $20$ %くらいということです。, $\begin{pmatrix} 0.374 & 0.297 & 0.187 & 0.093 & 0.036 & 0.013\\ くじ引きの問題は、確率の基礎学習が一通り身についているかどうかを探るにはピッタリの問題です。これに、「条件つき確率」の要素を入れた出題が、センター試験で頻出です。 \(2\) つの場合で、当たりやすさが変わるわけがありませんね。, \(3\) 本の当たりから \(1\) 本を選び、\(7\) 本のはずれから \(1\) 本を選びます。その選び方の総数は、, これは例題1(2)\(A\) がはずれ、\(B\) が当たりの確率 \(\displaystyle \frac{7}{30}\) の \(2\) 倍になっています。 ※\(A\) がはずれの確率 \(\displaystyle \frac{7}{10}\) から、(1)の確率を引いても求まります。余事象です。, 「\(A\) がはずれ、\(B\) が当たりの確率」と $P_{m,1}(a,a)=1-\frac{2}{m}\:(a=1,2,\cdots,m-1)$ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © 高校数学の無料オンライン学習サイトko-su- All Rights Reserved. くじを元に戻さないパターンでは、2回目にくじを引くとき、はずれと当たりがそれぞれ何本ずつ残っているのかを考えることが大事ですね! 更に、注目してほしいのは. 上記以外のとき $P_{m,1}(a,b)=0$ となる。これを行列で表すと, 0.152 & 0.156 & 0.163 & 0.171 & 0.177 & 0.181\\ 2020 All Rights Reserved. 誰が当たりやすいのでしょうか? ていねいに確実に身につけましょう。決して難しくないので、必ずや得点源になります!!, \(10\) 本のくじの中に、当たりが \(3\) 本入っていて、\(A\) くん、\(B\) くんの順にくじを引いた。 0.172 & 0.171 & 0.168 & 0.165 & 0.163 & 0.161\\ 0.147 & 0.152 & 0.161 & 0.172 & 0.181 & 0.187\end{pmatrix}$, ・偏りがだいぶなくなりましたが,横棒を $50$ 本も引いたのにまだ完全に均等にはなっていません! 0.297& 0.264 & 0.203 & 0.131 & 0.070 & 0.036\\ このページは「高校数学A:場合の数と確率」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっていま 一度引いたくじはもとに戻さないとき、次の確率を求めなさい。, \(A\) がはずれの確率は、\(\displaystyle \frac{7}{10}\), 次に、残ったくじは、当たり \(3\) 本、はずれ \(6\) 本となっているので、, \(B\) がはずれの確率は、\(\displaystyle \frac{6}{9}\), \(\displaystyle \frac{7}{10}×\displaystyle \frac{6}{9}=\displaystyle \frac{7}{15}\), \(B\) が当たりの確率は、\(\displaystyle \frac{3}{9}\), \(\displaystyle \frac{7}{10}×\displaystyle \frac{3}{9}=\displaystyle \frac{7}{30}\) ($6$ 人であみだくじをやるときに横棒を $50$ 本も引く人はあまりいないと思います), ここからはどうやって確率を計算するかについて説明します。行列積の定義を知っている必要があります。, 丁寧に場合分けして考えてみると, が固有ベクトルになりそうだと分かる。(難しい), 境界条件(最初の成分と最後の成分)に注意して $\theta_0,\theta_1$ を探すと,残りの固有ベクトルが $m$ 本見つかる。具体的には,$F_k(a)$ が $k$ 本目の固有ベクトルの第 $a$ 成分。. $(\cos\theta_0,\cos(\theta_0+\theta_1),\cos(\theta_0+2\theta_1),\dots,\cos(\theta_0+m\theta_1))$ 縦線が m+1 本,横棒が n本であるようなあみだくじを考えます。 n 本の横棒は「ランダムに」引かれています。ここで言うランダムとは,各々の横棒が m 箇所のどこに引かれる確率も 1m であるという意味です。実現されうるあみだくじのパターンは mn通りあります。 このとき,a 番からスタートして b 番に到達する確率 Pm,n(a,b) がどうなるのかという問題を考えます。(左端を 0 番,右端を m番とします) \(A,B\) が順番にくじの結果をみるのが例題1の(1) ただし,$F_k(a)=\cos\left\{\frac{k\pi}{m+1}(a+\frac{1}{2})\right\}$, 三角関数が登場するのが非常に面白いですね。 1から20までの数が1つずつ記された20枚のカードがある。このカードから、元に戻さず2枚引くとき, すると、90人の人が、正しくコロナ陽性と診断され、990人の人が、コロナではないのにコロナ陽性と診断されます。. 0.187 & 0.203 & 0.207 & 0.180 & 0.131 & 0.093\\ $P^n=XD^nX^{\top}$ $P_{m,1}(0,0)=P_{m,1}(m,m)=1-\frac{1}{m}$ \(\displaystyle \frac{7}{30}+\displaystyle \frac{1}{15}=\displaystyle \frac{3}{10}\), \(3\) 番目に引いても、\(10\) 番目に引いても、当たる確率は等しく \(\displaystyle \frac{3}{10}\), 細かい計算抜きで、感覚的にわかる説明をすると、 違いを確認しておきましょう!, くじ \(10\) 本をすべて区別します。 \(7\) 本のはずれから、\(2\) 本を選ぶので、, \(_7 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{7×6}{2×1}=21\)(通り), \(\displaystyle \frac{21}{45}=\displaystyle \frac{7}{15}\), これは、例題 \(1\) の(1)、\(A\) がはずれ、\(B\) も続けてはずれの確率と同じです。, \(A\) がくじを引いて、そのくじの結果を見ないで © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. と書ける。よって,$P$ の固有値と固有ベクトルを求めればよい。, まず,$(1,1,\dots,1)$ が固有値 $1$ に対応する固有ベクトルであることがわかる。また,$\cos$ の和積公式を使うと,「$\cos$ の等差数列」 「\(A\) が当たり、\(B\) が当たりの確率」の和になります。, 「\(A\) がはずれ、\(B\) が当たりの確率」は、(2)で求めた \(\displaystyle \frac{7}{30}\), \(\displaystyle \frac{3}{10}×\displaystyle \frac{2}{9}=\displaystyle \frac{1}{15}\), 以上合わせて、 今日は数学aの条件付確率の解き方についてみていきます。条件付き確率は、一見ややこしく感じますが、解き方次第ではとても簡単です。 くじの問題・赤玉白玉の問題・サイコロの問題・不良品の問題を例に解説していきます。 今回は、高校数学の数aで出てくる「確率」の中でも覚えておくべき5つの法則・公式についてまとめました。数aを習いたての人、入試対策、基本情報、spiなどで確率の復習をしたい方もぜひご覧ください。