A & -B \\ \hline \] の逆行列を 複素数が実装されていない計算機 を用いて求める., $Q$ を実部と虚部に分解すると &= A^{-1}-(E_n + A^{-1}BDC)^{-1}A^{-1}BDCA^{-1} \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ 与えられた正方行列の逆行列を求める方法,具体的な計算例を解説します。なお,公式の証明は線形代数の教科書を参照して下さい。, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の逆行列は,$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, 以下,一般の $n\times n$ の正方行列の逆行列を求める二通りの方法を解説します(具体例は3×3の場合のみ)。, 横長の行列$(A\:\:I)$ に行基本変形を繰り返し行って$(I\:\:B)$ になったら,$B$ は $A$ の逆行列である。, 行基本変形とは以下の三つの操作です。 \right] \begin{align*} \begin{array}{cc} -1 & 3 \] \] About; Mathematics; 2017年5月17日 逆行列の公式. \end{array} \] C&D \[ $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, どちらの方法にせよ計算ミスしやすいので,必ず検算しましょう($A$ と $A^{-1}$ の積が単位行列になっていることを確認!), 4×4以上だと余因子による方法はかなり厳しいです。掃き出し法をマスターしてください。. = \right] B & A E_m = P + AR = P \right] \right] \end{array} \right] = A + iB \begin{array}{cc} \end{array} \left(-\frac{1}{2}\right) \begin{array}{cc} \] ただし. A = Q , \quad B = QS, \quad C = PQ, \quad D = PQS+R \end{array} 操作1:ある行を定数倍する \textrm{rank}(PQ) \leqq \textrm{min}\bigl(\textrm{rank}(P), \textrm{rank}(Q)\bigr) \leqq n < m \end{align*} \] で考えているが,実は $AB = E$ または $BA = E$ のどちらかが成り立てばもう一方も成り立つことが知られている(齋藤先生の「線形代数入門」など)から,片側のみ調べることにする., $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ に対して次が成り立つ:, \[ \right] \begin{array}{cc} R & S E & O \\ S & E Q = \left[ \begin{array}{cc} \textrm{det}(E+QP) = \textrm{det}(E+PQ) \neq 0 \right]\left[ = \begin{array}{c} O_n & E_n \left[ \begin{array}{cc} \left[ \begin{array}{rrrr} \left[ 0 & 0 & 0 & 1 \begin{align*} \begin{align*} (A + BDC)^{-1} \begin{array}{cc} \right]. \left[ \right] \[ -i & -1 & i & 1 \\ \right] \[ =\left[ 1&-2&-2\\ \begin{array}{cc} R & S \[ \[ \end{array} \begin{array}{cc} &= A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1} + CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1} $\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\0&2&0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&2&-2&-1&1\end{pmatrix}$ \], Theorem 4 に $B = \boldsymbol{u}$,$C = {}^{t} \! \right] が成り立つ.したがって $E + QP$ は正則である.$Q$ および $E + PQ$ が正則である場合も \end{array} \begin{array}{cc} \begin{align*} この右半分が $A^{-1}$ である。, $A$ の逆行列の $ij$ 成分は $\dfrac{\Delta_{ji}}{\det A}$, ただし,$\det A$ は $A$ の行列式, TMyuki \end{array} パッと見で分かる統計学ノート; 数学の疑問. \textrm{Rot}(x , \theta)^{-1} = \textrm{Rot}(x ,-\theta) C&D = \end{array} 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ \right] A & -B \\ \begin{array}{cc} -S_A^{-1}CA^{-1} & S_A^{-1} \textrm{Trans}(a,b,c) = \left[ \end{array} \right] \\ \right], 5/2 & -9/2 \end{array} \end{array} (E+P)^{-1} &= A^{-1}-A^{-1}BDCA^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1} \\ \] O_{n,m} & E_n である., 同次座標を用いた $3$ 次元空間の($x$ 軸方向に $a$,$y$ 軸方向に $b$,$z$ 軸方向に $c$ だけ平行移動する)並進行列 \begin{array}{cc} \end{array} \[ C & -D \\ S_A = D-CA^{-1}B, \quad S_D = A-BD^{-1}C \right]^{-1} \begin{array}{cc} &= E-(E+P)^{-1}P \begin{array}{cc} \right]^{-1} = \left[ \end{array} \end{array} \left[ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & -2 \\ C&D \] \left[ \begin{array}{cc} \end{array} \right]^{-1} = \left[ \[ \[ \] \end{array} Q & O \\ O & R \right]^{-1} \left[ O_{n,m} & B E_n & O_{n,m}\\ \begin{align*} -5 & 0 &2 \\ \end{array} \end{array} $$, 同次座標を用いた $3$ 次元空間の($x$軸周りの)$\theta$ 回転行列 \begin{array}{cc} \] Q^{-1} & O \\ O & R^{-1} の逆行列を求める., 分解は = = \right] \], である.したがって \right] P + AR & Q + AS\\ \[ \[ \end{align*} \begin{array}{cc} \end{array} (E_m+PQ)^{-1}P = P(E_n+QP)^{-1} \begin{array}{cc} \begin{array}{c} = \left[ を得る., 右辺の行列は $A$ および $B$ が正則である限り必ず存在するから,左辺の行列は正則である., また,$A$ の逆行列が $B$ であることの定義は \] E & S \\ O & E &= \biggl(\bigl((E_m + DCA^{-1}B)^{-1}D\bigr)^{-1}\biggr)^{-1} \\ \begin{array}{cc} E & -A^{-1}B \\ O & E A&B\\ P(E + QP) = P + PQP = (E + PQ)P \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 AP & AQ\\ \] \] \end{array} \begin{array}{cc} \right]^{-1} \] \begin{array}{c|c} \right] \end{array} 0 \\ \end{array} \right] \end{array} (A + BDC)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1} + CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1} \right] E_{2n} \begin{array}{cc} A & O_{m,n}\\ (A + BC)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}B(E_m + CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1} 0 & -1 & 0 & 1& -1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array} \] \begin{array}{cc} \right] \end{array} \], $M \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が正則であるとする.$A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を用いて \right] \right] \end{array} \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 3 \right] \end{array} \begin{array}{cccc} M = \left[ 0 & 1 & 0 & b \\ \[ \end{array} 3 & 2 & 0 \\ &= (E+P)^{-1}(E+P-P) \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \] O_{n,m} & B^{-1} \[ \left[ \left[ -D^{-1}CS_D^{-1}&D^{-1}+D^{-1}CS_D^{-1}BD^{-1} $$, 正則行列 $M$ を次のようにブロック分割する: \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \right]^{-1} Q = \left[ \begin{array}{cc} \left[ \right] \] \left[ 当ページでは、掃き出し方を使って逆行列を求める方法や実際に逆行列を求める手順を各ステップごとに丁寧に解説しています。 逆行列の求め方には、余因子行列を用いた方法もあり、そちらは余因子行列を用いた逆行列の求め方と例題に詳細に記載しました。 = \begin{array}{cc} D & C \right]^{-1} = \left[ \end{array} \left[ \end{array} \[ E & O \\ P & E &= (E+P)^{-1}(E+P)-(E+P)^{-1}P \\ が単位行列となるとき \right] \end{align*} \] とした.先に $S_D^{-1}$ を計算しておく.$D^{-1} = -1/2$ であることに注意しておく. \left[ C & -D \\ \hline \] \], $A$ が右上にある場合を示す.$P \in \mathbb{C}^{m \times m}$,$Q \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$R \in \mathbb{C}^{n \times m}$,$S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して, \[ (E_m+PQ)^{-1}P = P(E_n+QP)^{-1} \end{array} D^{-1} + D^{-1}CS_D^{-1}BD^{-1}=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left[ \] が成り立つ., \[ DCA^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1} = (E_m + DCA^{-1}B)^{-1}DCA^{-1} \begin{array}{cc} C&D -1 & 0 & 1 & 0 \\ \right] + i \left[ E_n & O_{n,m}\\ 1 & 1 & 1 & 1 i & -1 & -i & 1 が成り立つ., $m > n$ であるとき \left[ \left[ \end{array} \left[ \[ このページでは、「\(2×2\) 行列の逆行列の求め方」と「\(3×3\) 行列の逆行列の求め方」を具体例 . &= A^{-1}-A^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1}BDCA^{-1} \\ \right]^{-1} \\ A&B\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\ \end{array} 最後に操作1を二行目と三行目に適用して左側を単位行列にする: \left[ 6 & 1 \right] \left[ \left[ &= \left[ \begin{array}{cc} \], $$ \] &= \frac{1}{4}\left[ = &= A^{-1}-A^{-1}B (E_m + DCA^{-1}B)^{-1}DCA^{-1} \\ \[ 1 & -2 \\ Q = -AS = -A \left[ Q & QS \\ PQ & PQS+R E & S \\ O & E \left[ \[ O_{n,m} & B \end{array} \right] = \end{align*} AC-BD = E_n , \quad AD + BC = O_n \end{array} \left[ が成り立つ.したがって1つ目,3つ目の式に左から $A^{-1}$ を,2つ目,4つ目の式に左から $B^{-1}$ を掛けて Q = \left[ E & O \\ -P & E