そして、素数は無限個あることが証明されているのですが、まだまだ発見されていない素数というのがたっくさんあるんですね! 発見されていない素数はたくさんあるのですが. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. V の約半ページ)と、リーマン予想を真と仮定する部分(約12ページ)である。, ガウスの類数予想は,与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという(ガウスの Disquisitiones Arithmeticae の article 303 において最初に述べられた)予想である.それを示す1つの方法は、判別式 D → −∞ のとき類数 h(D) → ∞ となることを示すことである。, リーマン予想に関わる以下の定理は Ireland & Rosen 1990, pp. “Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis”, https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/#.W6l4nF6LAG9.twitter, https://drive.google.com/file/d/17NBICP6OcUSucrXKNWvzLmrQpfUrEKuY/view, https://digital.asahi.com/articles/ASL9T42NNL9TULBJ004.html?_requesturl=articles/ASL9T42NNL9TULBJ004.html&rm=606, “Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf, “More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”, http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781, http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0, “Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces”, http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html, “On the Riemann hypothesis and the difference between primes”, http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793042115500426, Notices of the American Mathematical Society, http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf, “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN, “On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, Transactions of the American Mathematical Society, “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. 1 素数の出方はランダムではなかった。1億個調べて浮かんだ奇妙な数. 6, 534-543. = 古代ギリシャでは素数が無限に存在するこ とが知られていたが, 古来より素数がどのように分布しているのか人類の大きな関心の1つ である. 1 導入と証明の方針. H ] {\displaystyle [x,p]=1/2} x [注 3], リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 L-関数に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 L-関数の非自明な零点の実部が 1/2 であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。, 一般化されたリーマン予想 (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全てのディリクレの L-関数へ拡張したものである。とくにこの予想は、ジーゲルの零点(英語版)(1/2 と 1 の間にある L 関数の零点)が存在しないという予想を含んでいる。, 拡張されたリーマン予想 (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を代数体の全てのデデキントゼータ関数へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体のヘッケ指標の L-関数へ拡張することもできる。, 大リーマン予想(英語版) (grand Riemann hypothesis) は、全ての保型形式のゼータ関数(例えばヘッケ固有形式(英語版)のメリン変換)へ拡張したものである。, リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものは2019年9月現在存在しない。Watkins (2007) はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は頻繁に発表されている[14]。, 例えば2004年には、ルイ・ド・ブランジュが証明に成功したと発表したが後に否定された[15][16]。2018年には、マイケル・アティヤが微細構造定数の導出の副産物としてリーマン予想を証明したと発表したが、多くの専門家は懐疑的に見ている[17][18]。この論文は王立協会が発行する科学誌に投稿され、専門家らにより検証が進められている[19]。, ヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は自己共役作用素を見つけることであると提案した。その存在から ζ(s) の零点の実部に関する例の主張が、実固有値に主張を適用すると従うのである。このアイデアのいくつかの根拠は、零点がある作用素の固有値に対応するリーマンゼータ関数のいくつかの類似から来る:有限体上の多様体のゼータ関数の零点はエタールコホモロジー群上のフロベニウス元の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点はリーマン面のラプラス作用素の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点はイデール類群へのガロワ作用の固有ベクトルに対応する。, Odlyzko (1987) は、リーマンゼータ関数の零点の分布はガウスのユニタリアンサンブル(英語版)から来るランダム行列の固有値といくつかの統計学的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト–ポリヤ予想にいくらかの根拠を与える。, 1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティング(英語版)は古典ハミルトニアン H = xp のある未知の量子化 {\displaystyle {\hat {H}}} H / リーマン予想が偽ならば,|D| が十分大きいとき h(D) > 1 である., 定理 (Mordell; 1934). 1 数学者の最新研究で、素数の出方に驚くべきパターンがあり、従来は知られていなかった「バイアス」が働いていることが明らかになりました。, 小4の算数(アメリカの場合。日本は中1)で習ったように、素数とは「その数と1でしか割れない数字」です。 2、3、5、7、11、13、17など。その出方は神出鬼没で予測不能。求める公式すらありません。, パターンが存在するかどうかも不可知なら、人類の数学者の叡智を結集してそれが解けるかどうかも不可知。ただ唯一、数学者の一致した見解は、「この素数がこれだから次の素数はこれ、という予測はできない。なぜならば、素数の出方はランダムだからだ」ということぐらいでした。, ところがこの「ランダムネス」の仮説をスタンフォード大学のKannan Soundararajan数学科教授とポスドク(博士研究員)のRobert Lemke Oliverさんが実証しようとしたら、なんとランダムネスすらも存在しなくて、その並び方には想定外のバイアスがあることが判明したのです。ニュー・サイエンティストが早速内容を報じてます。, ふたりが調べたのは最初の1億個の素数。この1億個で出方のランダムネスを調べてみたら、「1で終わる素数」の次がまた「1で終わる素数」になる確率はたったの18.5%だったのです。本当にランダムならこの確率は25%じゃないとおかしいですよね(素数の末尾はかならず1、3、7、9なので、確率は4つにひとつ)。「パターン」と呼ぶにはあまりにも弱い。でもさりとて100%ランダムでもない。なんなのだ、この18.5%という中途半端な数字は!!!!となった模様です。, 試しにほかの数字でも調べてみました。「3」と「7」で終わる素数が連続して出る確率は30%、「9」で終わる素数が連続して出る確率は約22%でした。ここで重要なのは、この傾向は十進法とは無関係なこと。つまり素数それ自体に本来備わった属性なのです。, なぜそうなるのか? まったくもって理解不能です。その辺のことについてSoundararajan教授とLemke Oliver研究員は、古くからある「素数k組予想(k-tuple conjecture)」(双子素数、三つ子素数、四つ子以上の素数の出方に関する考察)とたぶん関連があるんじゃないか、と睨んでます。, …と言われてもサッパリわからないのでClearerThinking.org創設者の数学者Spencer Greenbergさんに取材してみたら、素数k組予想とは素数同士の近さを理解する試みなのだと教えてくれました。「というか、もっと正確に言うと、数が大きくなればなるほど、隣合った素数の幅はどうなるのかってことだね。それがだいぶ詳しくわかるのさ」。たとえば、数学者は「5つ等間隔で並んでる素数」とかも調べられるんだそうですよ? 素数k組予想とはいわば近くの素数を見つける際の「constraint(拘束)」の研究。今回の研究ではこの「拘束」で面白いことがわかった、ということですね、はい。, 「数が大きくなっていくと、束縛は減っていって、末尾の数の配分も等分になっていくように思えますよね。だって素数はどんどんレアになっていくんだから」(Greenbergさん)。でもここで忘れちゃいけないのは素数は円周率πと同様、ものすごくランダムに見えるんだけど、実際はランダムでもなんでもないことです。「素数は数のもつ属性によって、カッチリ正確に決められている。単に人間がその出方を見ても、われわれの脳にはパターンが見えない、だからデタラメの狂気に見える、それだけの話なんでしょう」と語ってくれました。, いや~、今回の発見はかなりワクワクしてしまったのですが、双子素数予想、リーマン予想をはじめ、ほかの素数の研究のブレイクスルーになる研究ではないらしいです。というか、数学や数の定理の解明にはまったくなんの影響もないし、なんの用にも立たない発見とのことです。でも数学者Andrew Granvilleさんはニュー・サイエンティストにこう語ってますよ。, 「これでさらに理解が深まった。どんな小さなことでも助かる。それまで当たり前と思っていたことが違うとわかれば、ほかの自分ではもうわかりきってると思ってることも考え直すきっかけになるからね」. ^ p Rassias によって編集された本 Open Problems in Mathematics(英語版) は、Alain Connes によるリーマン予想に関する広範なエッセイを取り上げている[3][4]。, リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際にオイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。, ゼータ関数を次のように定義する(複素数 s の実部が 1 より大きいとき、この級数は絶対収束する)。, 1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s ≠ 1) へゼータ関数を拡張した場合、, と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 (−2, −4, −6, …) のことである。自明でない零点は 0 < Re s < 1[注 1] の範囲にしか存在しないことが知られており(下記の歴史を参照)、この範囲を臨界帯という。, なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式[注 2]からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想が真であるという仮定がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている(素数分布とゼータ関数との関係は下記#素数の分布や、リーマンゼータ関数、素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと)。, 現在もリーマン予想は解決されていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含むL関数に対しても同様の予想を考えることができ、これを一般化されたリーマン予想(Generalised Riemann Hypothesis:GRHと略される)と呼んでいる。, 最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が(当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに)リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる[5]。, によって定義される。レオンハルト・オイラー(リーマンの生まれる40年前に死んだ)はこの級数がオイラー積, に等しいことを示した、ここで無限積はすべての素数 p を走り、再び実部が 1 より大きい複素数 s に対して収束する。オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、ζ(s) がこの領域において零点を持たないことを示している。, リーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数を解析接続して、すべての複素数 s に対して有効な定義を与える必要がある。これは以下のようにディリクレのエータ関数(英語版)の言葉でゼータ関数を表すことによってできる。s の実部が 1 よりも大きければ、ゼータ関数は, を満たす。しかしながら、右辺の級数は s の実部が 1 より大きいときだけでなく、より広く s の実部が正のときにいつでも収束する。したがって、この代わりの級数はゼータ関数を Re s > 1 からより大きい領域 Re s > 0 に、1 − 2/2s の零点 s = 1 + 2πin/log 2 を除いて、拡張する(en:ディリクレのエータ関数を参照)。ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、s = 1 における一位の極を除いて、正の実部を持つすべての s の値に対して有限値を与える。, を満たす。すると残りのすべての零でない複素数 s に対して ζ(s) を、この方程式が帯の外側でも成り立つと仮定し、ζ(s) は s の実部が正でないときに方程式の右辺に等しいとすることで定義できる。s が負の偶数のとき、因子 sin(πs/2) が消えるから ζ(s) = 0 である。これらがゼータ関数の自明な零点である(s が正の偶数のときにはこの議論は適用しない、なぜならば正弦関数の零点はガンマ関数が負の整数の引数を取るからその極によって打ち消されるからである)。値 ζ(0) = −1/2 は関数等式からは定まらないが、s が 0 に近づくときの ζ(s) の極限値である。関数等式はまた、ゼータ関数が自明な零点の他には実部が負の零点を持たないことも意味しており、したがってすべての非自明な零点は、s の実部が 0 と 1 の間の臨界帯 (critical strip) にある。, リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。, リーマンの明示公式は、与えられた数よりも小さい素数の個数を、リーマンのゼータ関数の零点を渡る和で表すものであり、予想される位置の周りでの素数の振動の大きさがゼータ関数の零点の実部によって制御されることを述べている。特に、素数定理における誤差項は、零点の位置に密接に関係している。例えば、β が零点の実部の上界であれば、差 π(x) − Li(x) は error bound O(xβ log(x)) を持つ[8]。1/2 ≤ β ≤ 1 であることが既に知られている[9]。, Von Koch (1901) はリーマン予想が素数定理の誤差に対する「最良の」上界を導くことを示した。Schoenfeld (1976) による,Koch の結果の正確なバージョンによれば、リーマン予想から, が従う、ただし π(x) は素数計数関数であり、log(x) は x の自然対数である。, Dudek (2014) はリーマン予想から次が従うことを示した:任意の x ≥ 2 に対して、ある素数 p が存在して、, リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。, が、実部が 1/2 よりも大きいすべての s に対して右辺の和が収束して成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。このことから次のことも結論できる:Mertens 関数(英語版)を, が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である[10](これらの記号の意味については、ランダウの記法を参照)。order n の Redheffer 行列(英語版)の行列式は M(n) に等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増大に関する条件としても述べることができる。リーマン予想は M の増大度についてかなりきつい制限を与える、というのも Odlyzko & te Riele (1985) がわずかに強い Mertens 予想(英語版), リーマン予想は μ(n) の他の数論的関数の増大率についての多くの予想とも同値である。典型的な例は次の Robin の定理(英語版) (Robin 1984) である:σ(n) を, がすべての n > 5040 に対して成り立つことと、リーマン予想が真であることが同値である。ここで γ は Euler–Mascheroni 定数である。, 別の例は Jérôme Franel(英語版) によって発見され、ランダウによって拡張された[11]。リーマン予想は Farey 数列の項がかなり規則的であることを示すいくつかの主張と同値である。1つのそのような同値は以下のようである:Fn を 1/n で始まり 1/1 までの order n の Farey 数列とすると、すべての ε > 0 に対して, 群論からの例として、g(n) を ランダウの関数(英語版)とする、つまり n 次の対称群 Sn の元の最大位数とする。Massias, Nicolas & Robin (1988) はリーマン予想が十分大きい全ての n に対する上界, リーマン予想は様々なより弱い結果も導く。その1つは リンデレーフ予想(英語版)である。これは臨界線上のゼータ関数の増大率に関する予想で、任意の ε > 0 に対して、t → ∞ のとき, リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、, を与えるので、ζ(1 + it) とその逆数の増大率は2倍の違いを除いて分かることになる[12]。, 素数定理は平均的に素数 p とその次の素数の間の間隔(英語版)が log p であることを意味する。しかしながら、素数間の間隔には平均よりもはるかに大きいものもある。クラメルはリーマン予想を仮定してすべての間隔が O(√p log p) であることを示した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最もよい上界でさえ、正しいと思われるものよりも遥かに弱い場合である。すなわち、クラメルの予想(英語版)はすべての間隔が O((log p)2) であることを意味しており、これは平均間隔よりは大きいが、リーマン予想から導かれる上界よりは遥かに小さいのである.数値計算はクラメルの予想を支持している[13]。, リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する(あるいは反証する)のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。(他に約数関数(英語版) σ(n) に関するものがある。), Riesz の判定法は Riesz (1916) によって与えられた、以下の主張である:, がすべての ε > 0 に対して成り立つこととリーマン予想が成り立つことは同値である。, Nyman (1950) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:, の形の関数全体のなす空間、ただし ρ(z) は z の小数部分で、0 ≤ θν ≤ 1 で、, は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 L2(0, 1) において稠密である。Beurling (1955) はこれを次を示すことで拡張した:ゼータ関数が実部が 1/p よりも大きい零点を持たないこととこの関数空間が Lp(0, 1) において稠密であることは同値である。, Salem (1953) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:積分方程式, Weil の判定法(英語版)はある関数の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である.関連するのは Li の判定法(英語版)で,ある数列の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である。, Speiser (1934) はリーマン予想が次の主張と同値であることを証明した:ζ(s) の導関数 ζ′(s) は帯, に零点を持たない。ζ(s) が臨界線上に1位の零点しか持たないことはその導関数が臨界線上に零点を持たないことと同値である。, いくつかの応用は ディリクレの L 級数や数体のゼータ関数のためにただのリーマン予想ではなく一般リーマン予想を用いる。リーマンゼータ関数の多くの基本的な性質はすべてのディレクレ L 級数に容易に一般化できるので、リーマンゼータ関数に対するリーマン予想を証明する手法がディレクレ L 級数に対する一般リーマン予想に対してもうまくいくというのはもっともらしい。一般リーマン予想を用いて初めに証明されたいくつかの結果は、後にそれを用いない無条件の証明が与えられたが、これらは通常はるかに難しい。以下のリストにある結果の多くは Conrad (2010) から取られている。, リーマン予想のいくつかの帰結はその否定の帰結でもあり、したがって定理である。(Ireland & Rosen 1990, p. 359) は,Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn 定理の彼らの議論において、次のように言っている:, The method of proof here is truly amazing. ここでの証明の手法は本当にすごい.一般リーマン予想が正しいならば,定理は正しい.一般リーマン予想が間違いならば,定理は正しい.したがって,定理は正しい!! Helge von Koch, "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. D < 0 を虚二次体 K の判別式とする。すべての虚二次ディレクレ指標の L 関数に対する一般リーマン予想を仮定する。このとき, 定理 (Deuring; 1933). If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Copyright © mediagene Inc. All Rights Reserved. 2016.03.16 17:00; 26,410. satomi 一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである:ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。, リトルウッドの定理は素数定理における誤差項の符号に関するものである。すべての x ≤ 1023 に対して π(x) < Li(x) であることが計算されており[要出典]、π(x) > Li(x) であるような x の値は知られていない。この表を参照。, となるような任意に大きい x の値も存在する。したがって、差 π(x) − Li(x) は無限回符号を変える。Skewes 数は最初の符号変化に対応する x の値の評価である., リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分(Ingham 1932, Chapt.