「二次関数のグラフの平行移動」がわからない?本記事では、平行移動の公式の証明2通りから、平行移動・対称移動に関する応用問題3選まで、わかりやすく解説します。「なぜ平行移動の公式はマイナスが出てくるのか」よくわからない方は必見です。 「平方完成のやり方がよく理解できていない…」と感じている方は必見です。, $x$ 軸方向に $+p$ 平行移動 → $x$ の代わりに $x-p$ を使う。, $y$ 軸方向に $+q$ 平行移動 → $y$ の代わりに $y-q$ を使う。, 次に「 $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動」をする。, $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するには、$x$ → $x-p$,$y$ → $y-q$ に置き換えればOK!, 平行移動・対称移動が混ざった問題は、移動の順番がごっちゃにならないように注意しよう!. 意味のない暗記数学をかなり嫌う。, あるきっかけから、理転を目指すことになった高校3年生。 平方完成と頂点の座標の関係性
二次関数のグラフの応用問題2選(平行移動や対称移動・最大値最小値)
まとめ. ©2016 - 2020 なかけんの数学ノート All rights reserved. 2次関数のグラフの平行移動 y=x²+4x+9 ここでは、この関数のグラフをx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動したときに得られる放物線の方程式を求めてみましょう。 "y=ax²+bx+c"のグラフをx軸方向にp 「二次関数のグラフをなかなか上手く書けない…」と感じている方は必見です。, 平方完成のやり方マニュアル4STEP
これらについて、わかりやすく丁寧に解説します。 ちなみになんちゃって制服。, 例えば\(y=x^2\)を\(x\)軸方向に\(+3\)動かすと、\(y=(x-3)^2\)になるじゃん?なんでマイナスになるんだろうなぁって。, $$y\color{red}{-2}=(x\color{red}{-6})^3-4(x\color{red}{-6})+1$$, \(y=ax^2\)上の適当な点\(A(x,ax^2)\)は、平行移動により点\(B\)に移動しているね。, 平行移動させるという行為は、グラフ(線)を形成している全ての点を同じように動かすということ, 自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる!!, 【中学数学から解説!】平方完成とは?公式の意味と変形の仕方→無理やり二乗を作ると、グラフの動きがわかる!, 【差がつくポイント】二項定理はイメージで覚えろ!重要なポイントと活用場面を総まとめ!, 関数\(y=x\sin x\)を\(x\)軸方向に3、\(y\)軸方向に-1平行移動したグラフの方程式を求めよ。, 二次関数\(y=\left(x+2\right)^2+4\)の頂点の座標を求めよ。, 関数\(y=f(x)\)のグラフを横に\(+p\)、縦に\(+q\)平行移動させたとき、\(x\)を\(x-p\)に、\(y\)を\(y-q\)に書き換えてあげればOK. 二次関数グラフの書き方を初めから解説! 二次関数の式の作り方をパターン別に解説! 二次関数を対称移動したときの式の求め方を解説! 平行移動したものが2点を通る式を作る方法とは? ←今回の記事; どのように平行移動したら重なる? aを定数とし、二次関数y=2x²ー12x+a・・・①について①のグラフをx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする。Gが点(1、1)を通る時b=ー2a2ー9a+11でありこのGを表 す二次関数はy=2x²-(4a+12)x+4a+11・・・②である。aがー3≦a≦ー1の範囲にあるとする。二次関数… その中でも、「平行移動(へいこういどう)・対称移動(たいしょういどう)」に関する内容は、二次関数以外の関数でも役に立つため、数学Ⅱ・数学Ⅲでも出てくる重要な知識です。, そしたら今のうちに理解しておいた方が良いよね。でも、平行移動の公式の成り立ちがよくわからないんだよなぁ。, よって本記事では、グラフの平行移動の公式(なぜ $+p$ 移動するとき $x-p$ を代入するのか)から、平行移動の応用問題3選の解き方まで, $y=f(x)$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+p$,$y$ 軸方向に $+q$ だけ平行移動したグラフは、$y-q=f(x-p)$ と表すことができる!, と、$+p$ なのに $x-p$ のような、符号の逆転現象が起きている、という点です。, ここがよくわからないです! $+p$ だけ動かしたいんだから、$x+p$ を入れれば良いんじゃないの?, ここで、上記のように悩んでしまって理解できない、という方が非常に多いように感じます。, なので、逆に言うとこの事実さえしっかり理解できれば、平行移動および対称移動の問題は楽勝も同然なのです。, ということで、ここからは $2$ つの考え方で、平行移動の公式を解説していきます。ぜひ、自分に合った方法で理解しましょう!, 例題1.二次関数 $y=x^2 …①$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めなさい。, 放物線 $y=x^2 …①$ の頂点の座標は、もちろん原点 $( \ 0 \ , \ 0 \ )$ である。, ①のグラフを $x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $+3$ 平行移動すると、頂点の座標ももちろんその分だけ移動するので、$( \ 1 \ , \ 3 \ )$ となる。, であり、たしかに①の $x$,$y$ をそれぞれ $x-1$,$y-3$ に変えた方程式, 平行移動してもグラフの形は変わらないため、グラフの形を決める係数 $a$ の値は同じです。, それを踏まえた上で”頂点の移動のみ”に着目しても、以上のように公式が導ける、というわけですね。, たしかに、こういう風に逆算して考えれば、平行移動の公式が正しい理由がわかりますね。, 数学が嫌いになる原因の一つとして「証明がわからない」というのがあります。無理して証明を覚えるくらいなら、以上のように「証明ではないけれども感覚で理解しておくこと」の方が大切だと、私は思いますね。, 証明のための準備:関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $( \ x \ , \ y \ )$ を、$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら、点 $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したと仮定する。, 以上 $3$ つが前提であり、ここから $X$,$Y$ についての関係式を作っていきます。, $( \ x \ , \ y \ )$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したことから、, ここで、点 $( \ x \ , \ y \ )$ は関数 $y=f(x)$ 上の点なので、代入することができるから、①より, となり、たしかに $x$ の代わりに $X-p$,$y$ の代わりに $Y-q$ を入れた方程式となった。, なるほど。使える条件が少ないから、必然的に証明もシンプルになるね。でも、大文字の $X$ や $Y$ が何となくひっかかるなぁ。, 大文字の $X$,$Y$ で考えたのは、小文字の $x$,$y$ と区別するためです。そもそも、「 $x$ 軸・$y$ 軸」というのも一種の決まり事なので、たとえば「 $a$ 軸・$b$ 軸」とかでも問題はないわけです。, 証明は意外とシンプルなのですが、慣れていないと「ん?」と思うようなロジックなんですね。, ここの論理については、数学Ⅱ「軌跡」の単元で詳しく学習しますので、よくわからない方は「とりあえず証明はこんな感じなんだな~」という雰囲気だけでも押さえておきましょう。, 関数 $y=f(x)$ に対して、① $x$ 軸に関して対称なグラフ:$-y=f(x)$ すなわち $y=-f(x)$② $y$ 軸に関して対称なグラフ:$y=f(-x)$③ 原点に関して対称なグラフ:$-y=f(-x)$ すなわち $y=-f(-x)$, さて、グラフの平行移動の他にもう一つ「グラフの対称移動」というものがありますが、平行移動の公式が理解できれば、こちらは自然と理解できるかと思います。, $x$ 軸に関して対称移動したグラフ同士の図を見ればわかる通り、$y$ → $-y$ と変えればOKですよね。, 他の場合は省略しますが、対称移動の場合は「 $-$ を付けるか否か」だけなので、単純に考えてしまいましょう。, ただし「 $x$ 軸に関して対称だから $x$ を $-x$ に変えればいい!」みたいな発想はNGです。しっかりと図を書くことで、$x$ 座標は変化しないことが見てわかりますよね。, 「どっちにマイナスを付けるか」という風に混乱した場合でも、図を書いてみれば一目瞭然です。, 基本はこれでマスターできましたので、ここからは復習もかねて、応用問題を $3$ 問解いていきます。, 問題1.放物線 $y=-x^2+2x-3 …①$ を、$x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めなさい。, 一番オーソドックスな問題ですが、公式の解説でも考えたように、「頂点の移動」に着目しても解けます。, となり、頂点の座標が $( \ 1 \ , \ -2 \ )$ であることがわかるので、平行移動後の放物線の頂点の座標は、, 「頂点の移動で考える方法」「平行移動の公式を使う方法」どちらにも良さがあるため、一概に「こっちの方がオススメ!」とは言えません。, 問題2.ある放物線 $A$ を、$x$ 軸方向に $-1$,$y$ 軸方向に $+2$ だけ平行移動したら、放物線 $y=2x^2+3x-4$ になった。放物線 $A$ の方程式を求めなさい。, ただ、この問題もある事実に気づいてしまえば、あとは平行移動の公式を使ってラクに解くことができます。, 問題文から、放物線 $y=2x^2+3x-4$ を、$x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したら、放物線 $A$ になる、と逆に考えることができる。, ちなみに、問題2も頂点の移動で解くことも可能ですが、今回頂点の座標に分数が出てきてしまうため、計算が大変です。, こういった問題にも対応できるようになりたい方は、平行移動の公式を使える方が良いですね!, 問題3.ある放物線 $B$ を、$x$ 軸方向に $+2$,$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した後、原点に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-6x+7$ になった。放物線 $B$ の方程式を求めなさい。, これは公式を使わないと厳しそうですね!ところで、もし移動の順番を逆にしてしまうとどうなるんですか?, 対称移動は平行移動と違って、「いつも一定の変化をする移動ではない」ため、このようなことが起きてしまうのですね。, 仮に平行移動→平行移動の問題であれば、順番が逆になっても問題はありません。これは自分で問題を作ってみて、図を書いて確認してみてください。, 平行移動・対称移動の知識は、どんな関数のグラフであっても使えるので、ぜひこの機会に押さえておきましょう。, 数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。, ウチダショウマ。数学が大好きな25歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験1発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか1年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, \begin{align}X=x+p \ , \ Y=y+q\end{align}, \begin{align}x=X-p \ , \ y=Y-q …①\end{align}, \begin{align}y&=-x^2+2x-3\\&=-(x^2-2x)-3\\&=-\{(x-1)^2-1\}-3\\&=-(x-1)^2+1-3\\&=-(x-1)^2-2\end{align}, \begin{align}( \ 1 \ , \ -2 \ )+( \ -2 \ , \ +3 \ )=( \ -1 \ , \ 1 \ )\end{align}, \begin{align}y-3&=-(x+2)^2+2(x+2)-3\\&=-(x^2+4x+4)+2x+4-3\\&=-x^2-4x-4+2x+4-3\\&=-x^2-2x-3\end{align}, \begin{align}y+2&=2(x-1)^2+3(x-1)-4\\&=2(x^2-2x+1)+3x-3-4\\&=2x^2-4x+2+3x-3-4\\&=2x^2-x-5\end{align}, \begin{align}y-3&=-2(x+2)^2-6(x+2)-7\\&=-2(x^2+4x+4)-6x-12-7\\&=-2x^2-8x-8-6x-12-7\\&=-2x^2-14x-27\end{align}, 二次関数のグラフの書き方とは?
【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフ(具体例) 【標準】平方完成のやり方 【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフの頂点 【標準】放物線の平行移動(頂点に着目) 【標準】放物線の平行移動(変 … なぜ平方完成をする必要があるの?
と見抜ければ、問題が解きやすくなったり、心理的ハードルが下がったりします。 これから先、いろんな問題に出会うと思いますが、関数や方程式の問題では、ぜひ平行移動を意識して見てください。 【標準】放物線の平行移動(頂点に着目)では、平行移動した後の放物線の方程式を求めるときに、頂点の座標に着目して解きました。ここでは、別の解き方、変数を置き換えて解く方法を紹介します。, いきなり結論から書いてしまうと、平行移動した後の放物線の方程式は、次のようにして求めることができます。, 元の式の x を $x-p$ に、y を $y-q$ に置き換えたものになります。符号がプラスではなくてマイナスであることに注意しましょう。, さて、どうしてこのようにして求めることができるのでしょうか。【基本】二次関数y=a(x-p)^2+qのグラフ#どうしてpとqの符号が違うのかの内容とかぶるところが多いですが、書いていきます。, 移動後のグラフ上の点 $(x,y)$ に対して、x と y がどういう関係式なのか、を求めるのが目標です。この点に対応する移動前の点を $(X,Y)$ としましょう。つまり、平行移動により、点 $(X,Y)$ が 点 $(x,y)$ に移った、とおくわけですね。, 移動前の点 $(X,Y)$ については、X と Y との関係式は、すでにわかっています。移動前の放物線の方程式から\[ Y=aX^2+bX+c \ \cdots (1) \]となります。また、移動内容から考えて\[ X+p=x, \ Y+q=y \]が得られます。これを変形すると、次のように書けます。\[ X=x-p, \ Y=y-q \ \cdots (2) \], (2)を(1)に代入すると、求めたかった x と y がどういう関係式が次のようになることがわかります。\[ y-q=a(x-p)^2+b(x-p)+c \]よって、上で書いたことが成り立つことがわかります。, p 移動するのに $x+p$ ではなく $x-p$ が出てくるのが不思議に思う人もいるかもしれません。これは、上の説明での「移動前の方程式を利用する」点からわかると思います。今使えるのは「移動前の方程式」だけなので、「移動後の点を $-p$ だけ移動する」必要があります。そのため、 $x-p$ が出てくるんですね。 $y-q$ も同様です。, ここでの説明は少し難しかったかもしれませんが、元の式の x を $x-p$ に、y を $y-q$ に置き換えたものになる、ということだけはおさえておきましょう。ちなみに、これと似たことはまた数学IIで出てきます。, 上で説明した内容を使って、問題を解いてみましょう。【標準】放物線の平行移動(頂点に着目)で出てきた問題を解いてみます。, 頂点を求めるやり方より直接的に方程式を求められるので、計算量も少なくなります。「頂点を使う方法」は、頂点がわかっても方程式まではわからないので、間のステップが増えてしまうんですね。理屈がわかる人にはこちらの方がいいでしょう。, 【標準】放物線の平行移動(頂点に着目)には、もう1つ、「どう平行移動すればいいか」という問題があります。こちらは頂点の移動だけを考えれば解けるので、「頂点を使う方法」の方が簡単です。移動距離を文字で置き、変数置き換えで解くこともできますが、かなり面倒です。, 放物線の平行移動に関する問題を解く方法として、頂点を使う方法と変数の置き換えによる方法(今読んでいるページ)を紹介しました。, 現時点では「頂点を使う方法」は絶対にマスターしておく必要があります。頂点を求める計算も、これから頻繁に出てきます。「変数の置き換えによる方法」は今は使えなくてもかまいませんが、また数学IIで出てきますし、いずれはできるようになっておかないといけません。ということで、最終的にはどちらも使えるようになっておきましょう。, なお、グラフの平行移動の問題は、入試でも出題されることがあります。「頂点を使う方法」は放物線の場合にしか使えませんが、「変数の置き換えによる方法」での考え方は、他の場合にも応用がきく方法です。, ここでは、平行移動した後の放物線の方程式を、変数置き換えを使って解く方法を見てきました。符号に注意し、 x を $x-p$ に、y を $y-q$ に置き換えて求めましょう。.